順列と組み合わせの関係 #学ぶ

問題

カードを2回引いて、その足し算が奇数である確率を求めなさい。なお、カードを1回引いて、それを戻す場合と戻さない場合両方考えなさい。

答え

承知いたしました。ジョーカーを除いた52枚のトランプカードから2枚引く場合について、カードの数字の合計が奇数になる確率を、カードを戻す場合と戻さない場合の両方で計算します。

トランプのカードの数字について整理します。

• 合計枚数: 52枚
• 各スート（スペード、ハート、ダイヤ、クラブ）には、A(1), 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J(11), Q(12), K(13) の13枚があります。
• 奇数のカード: 1, 3, 5, 7, 9, 11(J), 13(K) の7種類。各スートに7枚あるので、合計 $7\times 4=28$枚。
• 偶数のカード: 2, 4, 6, 8, 10, 12(Q) の6種類。各スートに6枚あるので、合計 $6\times 4=24$枚。

2枚のカードの数字の和が奇数になるのは、次の2つのパターンのいずれかです。

1. 1枚目が奇数で、2枚目が偶数
2. 1枚目が偶数で、2枚目が奇数

1. カードを元に戻す場合（復元抽出）

引いたカードを毎回デッキに戻すため、1回目と2回目でカードを引く確率は変わりません。

• 1枚目に奇数を引く確率: $P({\text{奇数}}_1)=\frac{\text{奇数の枚数}}{\text{総枚数}}=\frac{28}{52}=\frac{7}{13}$
• 1枚目に偶数を引く確率: $P({\text{偶数}}_1)=\frac{\text{偶数の枚数}}{\text{総枚数}}=\frac{24}{52}=\frac{6}{13}$
• 2枚目に奇数を引く確率: $P({\text{奇数}}_2)=\frac{7}{13}$
• 2枚目に偶数を引く確率: $P({\text{偶数}}_2)=\frac{6}{13}$

求める確率は、「1枚目が奇数かつ2枚目が偶数」の確率と「1枚目が偶数かつ2枚目が奇数」の確率の合計です。

P(和が奇数)=P(奇数1​∩偶数2​)+P(偶数1​∩奇数2​)

P(和が奇数)=(P(奇数1​)×P(偶数2​))+(P(偶数1​)×P(奇数2​))

P(和が奇数)=(137​×136​)+(136​×137​)

P(和が奇数)=16942​+16942​=16984​

したがって、カードを元に戻す場合、和が奇数になる確率は 16984​ です。

2. カードを元に戻さない場合（非復元抽出）

引いたカードはデッキに戻さないため、1回目の結果が2回目の確率に影響します。

パターンA: 1枚目が奇数、2枚目が偶数の場合

• 1枚目に奇数を引く確率: $P({\text{奇数}}_1)=\frac{28}{52}$
• 1枚目に奇数を引いた後、残りのカードは51枚。偶数は24枚残っています。
• 2枚目に偶数を引く確率（1枚目が奇数だった条件の下で）: $P({\text{偶数}}_2|{\text{奇数}}_1)=\frac{24}{51}$
• このパターンの確率: $P({\text{奇数}}_1\cap {\text{偶数}}_2)=P({\text{奇数}}_1)\times P({\text{偶数}}_2|{\text{奇数}}_1)=\frac{28}{52}\times \frac{24}{51}=\frac{7}{13}\times \frac{8}{17}=\frac{56}{221}$

パターンB: 1枚目が偶数、2枚目が奇数の場合

• 1枚目に偶数を引く確率: $P({\text{偶数}}_1)=\frac{24}{52}$
• 1枚目に偶数を引いた後、残りのカードは51枚。奇数は28枚残っています。
• 2枚目に奇数を引く確率（1枚目が偶数だった条件の下で）: $P({\text{奇数}}_2|{\text{偶数}}_1)=\frac{28}{51}$
• このパターンの確率: $P({\text{偶数}}_1\cap {\text{奇数}}_2)=P({\text{偶数}}_1)\times P({\text{奇数}}_2|{\text{偶数}}_1)=\frac{24}{52}\times \frac{28}{51}=\frac{6}{13}\times \frac{28}{51}=\frac{6}{13}\times \frac{28}{3\times 17}=\frac{2}{13}\times \frac{28}{17}=\frac{56}{221}$

求める確率は、パターンAとパターンBの確率の合計です。

P(和が奇数)=P(奇数1​∩偶数2​)+P(偶数1​∩奇数2​)

P(和が奇数)=22156​+22156​=221112​

したがって、カードを元に戻さない場合、和が奇数になる確率は 221112​ です。

まとめ

• カードを1回引いて元に戻す場合、2枚のカードの数字の和が奇数になる確率は 16984​ です。
• カードを1回引いて元に戻さない場合、2枚のカードの数字の和が奇数になる確率は 221112​ です。

質問

なぜ、戻さない場合に限り、組み合わせ的なアプローチでも計算可能になるのですか

答え

それは良い質問ですね。なぜカードを戻さない場合（非復元抽出）に限って、組み合わせ的なアプローチ（つまり、選ぶ順番を考慮しない場合の数を使って確率を計算する方法）でもうまくいくのか、その理由を掘り下げてみましょう。

鍵となるのは、確率を計算する際の基本原則である「同様に確からしい (equally likely)」という考え方です。確率は基本的に、

$$P(\text{事象A})=\frac{\text{事象Aが起こる場合の数}}{\text{起こりうる全ての事象の場合の数}}$$

で計算されますが、この計算が正しく成り立つためには、分母の「起こりうる全ての事象」を構成する根元事象（それ以上分解できない個々の結果）の一つ一つが、同じ確率で起こる必要があります。

カードを戻さない場合（非復元抽出）

この場合、根元事象を「どのカードが何番目に引かれるか」という順番を考慮した事象（順列）として考えることも、「どのカードの組み合わせが最終的に選ばれるか」という順番を考慮しない事象（組み合わせ）として考えることもできます。そして、どちらの考え方でも根元事象が「同様に確からしい」という条件を満たすのです。

1. 順列で考える場合（順番を考慮）

   • 根元事象： 「1枚目にカードX、2枚目にカードY」 (X≠Y)
   • 起こりうる全ての事象の数： $P(52,2)=52\times 51$ 通り
   • 例えば、「ハートのA → スペードの2」という特定の順番で引かれる確率は $\frac{1}{52}\times \frac{1}{51}$ です。これは、他のどんな特定の順番（例：「クラブの3 → ダイヤのK」）で引かれる確率とも同じです。
   • つまり、$52\times 51$ 通りの根元事象はすべて同様に確からしいので、順列の場合の数を使って確率計算ができます。
   • 確率 = 52×51(28×24)+(24×28)​

2. 組み合わせで考える場合（順番を考慮しない）

   • 根元事象： 「カードXとカードYの組み合わせ {X, Y}」 (X≠Y)
   • 起こりうる全ての事象の数： $C(52,2)=\frac{52\times 51}{2}$ 通り
   • 特定の組み合わせ（例：「{ハートのA, スペードの2}」）が選ばれるのは、「ハートA → スペード2」または「スペード2 → ハートA」のいずれかです。その確率は $(\frac{1}{52}\times \frac{1}{51})+(\frac{1}{52}\times \frac{1}{51})=\frac{2}{52\times 51}$ です。
   • これは、他のどんな特定の組み合わせ（例：「{クラブの3, ダイヤのK}」）が選ばれる確率とも同じになります。
   • つまり、C(52,2) 通りの根元事象（組み合わせ）もすべて同様に確からしいのです。
   • したがって、組み合わせの場合の数を使っても確率計算ができます。
   • 確率 = $\frac{C(28,1)\times C(24,1)}{C(52,2)}=\frac{28\times 24}{\frac{52\times 51}{2}}$

このように、非復元抽出では、最終的に手元に残るカードの「組み合わせ」自体が、どれも同じ確率で選ばれるため、組み合わせの場合の数を使って確率を計算しても問題ないのです。

カードを戻す場合（復元抽出）ではなぜダメなのか？

復元抽出の場合、「組み合わせ」を根元事象として考えると、「同様に確からしい」という条件が満たされません。

• 考えられる組み合わせには、「異なる2枚の組み合わせ {X, Y} (X≠Y)」と「同じカード2枚の組み合わせ {X, X}」の2種類があります。
• 特定の「異なる2枚の組み合わせ {X, Y}」が選ばれる確率： (X→Y の確率) + (Y→X の確率) = $(\frac{1}{52}\times \frac{1}{52})+(\frac{1}{52}\times \frac{1}{52})=\frac{2}{52^2}$
• 特定の「同じカード2枚の組み合わせ {X, X}」が選ばれる確率： (X→X の確率) = $\frac{1}{52}\times \frac{1}{52}=\frac{1}{52^2}$
• このように、選ばれる組み合わせの種類によって確率が異なります（異なる2枚の組が選ばれる確率は、同じカード2枚の組が選ばれる確率の2倍）。
• 根元事象（組み合わせ）が「同様に確からしくない」ため、単純に組み合わせの数だけで確率を計算することはできません。この場合は、順番を考慮した事象（例：「ハートA→スペード2」）を根元事象として考える必要があり、それらは $52\times 52$ 通りあり、すべて同様に確からしい（確率 1/522）です。

結論

カードを戻さない場合（非復元抽出）に組み合わせ的なアプローチが使えるのは、どのカードの「組み合わせ」が最終的に選ばれるかという観点で見ても、それぞれの組み合わせが選ばれる確率が等しくなる（同様に確からしい）からです。一方、カードを戻す場合は、同じカードを選ぶ可能性があるため、組み合わせによって選ばれる確率が異なってしまい、組み合わせの数だけでは単純に確率計算ができないのです。